數(shù)學(xué)模型

用數(shù)學(xué)語言描述的一類模型。數(shù)學(xué)模型可以是一個(gè)或一組代數(shù)方程、微分方程、差分方程、積分方程或統(tǒng)計(jì)學(xué)方程，也可以是它們的某種適當(dāng)?shù)慕M合，通過這些方程定量地或定性地描述系統(tǒng)各變量之間的相互關(guān)系或因果關(guān)系。除了用方程描述的數(shù)學(xué)模型外，還有用其他數(shù)學(xué)工具，如代數(shù)、幾何、拓?fù)?、?shù)理邏輯等描述的模型。需要指出的是，數(shù)學(xué)模型描述的是系統(tǒng)的行為和特征而不是系統(tǒng)的實(shí)際結(jié)構(gòu)。

數(shù)學(xué)模型是運(yùn)用數(shù)理邏輯方法和數(shù)學(xué)語言建構(gòu)的科學(xué)或工程模型。

數(shù)學(xué)模型的歷史可以追溯到人類開始使用數(shù)字的時(shí)代。隨著人類使用數(shù)字，就不斷地建立各種數(shù)學(xué)模型，以解決各種各樣的實(shí)際問題。對(duì)于廣大的科學(xué)技術(shù)工作者對(duì)大學(xué)生的綜合素質(zhì)測(cè)評(píng),對(duì)教師的工作業(yè)績(jī)的評(píng)定以及諸如訪友，采購(gòu)等日?；顒?dòng)，都可以建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型，確立一個(gè)方案。建立數(shù)學(xué)模型是溝通擺在面前的實(shí)際問題與數(shù)學(xué)工具之間聯(lián)系的一座必不可少的橋梁。

用字母、數(shù)字和其他數(shù)學(xué)符號(hào)構(gòu)成的等式或不等式，或用圖表、圖像、框圖、數(shù)理邏輯等來描述系統(tǒng)的特征及其內(nèi)部聯(lián)系或與外界聯(lián)系的模型。它是真實(shí)系統(tǒng)的一種抽象。數(shù)學(xué)模型是研究和掌握系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的有力工具，它是分析、設(shè)計(jì)、預(yù)報(bào)或預(yù)測(cè)、控制實(shí)際系統(tǒng)的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)模型的種類很多，而且有多種不同的分類方法。

靜態(tài)和動(dòng)態(tài)模型

靜態(tài)模型是指要描述的系統(tǒng)各量之間的關(guān)系是不隨時(shí)間的變化而變化的，一般都用代數(shù)方程來表達(dá)。動(dòng)態(tài)模型是指描述系統(tǒng)各量之間隨時(shí)間變化而變化的規(guī)律的數(shù)學(xué)表達(dá)式，一般用微分方程或差分方程來表示。經(jīng)典控制理論中常用的系統(tǒng)的傳遞函數(shù)也是動(dòng)態(tài)模型，因?yàn)樗菑拿枋鱿到y(tǒng)的微分方程變換而來的（見拉普拉斯變換）。

線性和非線性模型

線性模型中各量之間的關(guān)系是線性的，可以應(yīng)用疊加原理，即幾個(gè)不同的輸入量同時(shí)作用于系統(tǒng)的響應(yīng)，等于幾個(gè)輸入量單獨(dú)作用的響應(yīng)之和。線性模型簡(jiǎn)單，應(yīng)用廣泛。非線性模型中各量之間的關(guān)系不是線性的，不滿足疊加原理。在允許的情況下，非線性模型往往可以線性化為線性模型，方法是把非線性模型在工作點(diǎn)鄰域內(nèi)展成泰勒級(jí)數(shù)，保留一階項(xiàng)，略去高階項(xiàng)，就可得到近似的線性模型。